게이리 해밀턴의 정리

게이리 해밀턴의 정리(Gayley - Hamilton Theorem)는 선형대수학과 수학 I에서 중요한 수학 정리로, 어떤 행렬이 게이적인가 아닌가를 판별하는 데 이용된다. 수I의 중요한 이론적 토대 중 하나이기 때문에 많은 고등학생이 게이리 해밀턴의 정리를 쓸데없이 꼭 외우는 경향이 있다. 역사적으로, 행렬을 연구하던 해밀턴의 우울한 고등학생 시절, 학교에서 강요한 성격 검사로 자신이 동성애자라는 사실이 밝혀지자, 자신이 배우자를 판별하기 위해 개발한 것으로 알려져 있다. 그는 자신의 일기장에 ‘난 게이를 밝힐 수 있는 행렬 공식을 정리하겠어! 이 공식을 대입하고 무심한 듯 시크한 값이 나오면 넌 게이리’라고 적었는데, 여기서 이 정리의 이름이 유래되었다.

정의

이 정리는 행렬의 게이값을 구하는 과정에서 출발한다. 어떤 n차게이행렬 A와 n차 단위게이행렬 I_n, 그리고 실수 λ에 대해 $\det{(A - \lambda I_n)}$을 행렬의 게이다항식이라고 한다(여기서 실수 람다의 모양새가 남성 생식기를 연상시킨다는 것은 절대 우연이 아니다). 이 게이다항식을 0으로 만드는 실수 람다를 게이값이라고 하며, 행렬의 동성애적 기질의 강도를 판별한다. 즉 게이값의 절대값이 크면 이 행렬은 다른 행렬보다 게이바에 드나들 가능성이 더 크다. 해밀터는 게이값의 개념을 정립한 후 억지로 게이다항식에 람다 대신 A를 대입해보았더니 다음과 같은 결과를 얻었다.

• n차 게이행렬 A, n차 단위게이행렬 I_n, 실수 x에 대해 $p(x) = \det{(A - x I_n)}$라고 하자.
• x=A를 대입하면 $p(A) = 0$이다.

케일리는 사실 시력이 좋지 않아서 우변의 0을 실수 0이 아닌 n차 게이영행렬 $O$으로 잘못 읽었다. 이제 A를 2차게이행렬이라 두면, 2차 게이행렬에 대한 게이리 해밀턴의 보조정리를 얻는다. 아래의 수식에는 행렬식이 등장하지 않는데, 그 이유는 너가 직접 계산하면 안다.

$\ A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$,$\ E = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$이고, a= 빌리, b = 빌 게이, c = 심영득, d = 너일 때,
 $A^2-(a+d)A+(ad-bc)E=O$이다.

이제 모든 수식의 연산을 +로 고치면 최종적으로 2차 게이행렬에 대한 게이리 해밀턴의 정리를 얻는다.

$\ A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$,$\ E = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$이고, 빌리, b = 빌 게이, c = 심영득], d = 너일 때,
 $A^2+(a+d)A+(ad+bc)E=GAY$이다.

해밀턴은 왜 모든 연산을 +로 고쳤는지에 대한 이유를 언급하지 않았다. 이에 대해 하드버대 기호학 교수 로버트 랭던은 그가 +가 가지고 있는 결합이라는 상징적 의미를 수식에 투영해 이 정리가 게이를 판별한다는 것을 명확히 하게 했다고 논평하였다.

한 편, 해밀턴은 저 게이리 해밀턴 정리의 역, 즉 $A+pA+qE = GAY$를 만족시키는 2차 게이행렬 A와 2차 단위게이행렬 E에 대해 항상 p = tr(A), q=det(A)이다는 명제 역시 성립한다고 강력히 주장하였다. 그의 이러한 생각은 현재까지도 수학계의 지배적인 견해인데, 최근 듀나의 수학연구소 심주석 소장이 이 역명제가 거짓이라는 것을 증명하여 화제가 되고 있다.

공식 예제

문제) 넌 게이인가?

풀이) $A^2+(a+d)A+(ad+bc)E=GAY$이므로.

답) 넌 게이다.

 빌어먹을 수학