그레이엄 수

그레이엄 수는 무량대수보다 상상 이상으로 훨씬 큰 수를 말한다. Various Artists는 그라 함수라고 하지만, 이는 왜말을 무식하게 옮긴 것이라 외래어 표기법에 어긋난다 카더라.

그레이엄 수는?

그레이엄 수는 말 그대로 로널드 루이스 그레이엄이 만든 수인데, 많고 많은 수 중에서 :$G = G^{64} (4) = \underbrace{G(G(\cdots G}_{64} (4) \cdots ))$만을 정의한다. 여기에서 $G^{m} (n)$은 n을 n으로 m번 거듭제곱한 것을 뜻한다. 왜 하필 이 파라미터가 들어간 수를 정했는지는 며느리도 모른다. 이는 4를 64번 거듭제곱한 수로, 일일이 나타내기가 매우 힘들어 $4^{4^{4^{.^{.^.}}}}$로 표기할 수 있다.

만들어진 과정

1970년, 그레이엄은 ㅂ.ㄹ.로트쉴트와 함께 '그레이엄 정리'에서 다음과 같이 기술하였다.

	n차원의 초입방체의 2n개의 정점 각각을 서로 모든 선으로 잇는다. 다음에 두 색을 사용하여 연결된 선을 어느 한 색으로 칠한다. 이 때 n이 충분히 클 때, 어떤 방식으로 칠하더라도 동일 평면상에 존재하는 네 점에서 이들을 잇는 선이 모두 동일한 색인 것이 존재한다.

즉 n이 충분히 클 때라는 것이

	n이 충분히 클 때, 이 관계는 항상 성립하는가

인 것으로, 이를 '그레이엄 문제'라고 한다. '그레이엄 정리'에 따르면 해의 존재는 확실하나, 구체적인 값은 누와 신만이 안다고 전해진다. 하지만 이 관계가 그레이엄 수 이상의 n에 대해 성립하는 것을 그레이엄 본인이 증명하였고, 그 해는 그레이엄 수 이하임이 밝혀졌다. 어쨌든 그레이엄 수는 현재까지 그레이엄 문제에서 해의 가장 좋은 상한값이라고 할 수 있다. 한편 1971년에 로트쉴트와 함께 해의 하한값을 6으로 주었지만, 누군가는 2003년에 하한값을 11로 주었다 카더라.

얼마나 크길래

실감이 잘 안 난다면 2를 128번 곱한 $2^{128} = 340,282,366,920,938,463,463,374,607,431,768,211,456$을 예로 들어보기로 하자. $2^{128}$은 $4^{64} = 4^{2^{6}} = 4^{4^{3}}$이 된다. $4^{4^{3}} = G^3(4) < 4^{4^{4}} = G^4(4) \ll G^{64}(4)$이므로 아직 그레이엄 수의 한 터럭도 미치지 못했다는 이야기가 된다.

 빌어먹을 수학