몬티 홀 문제

이 문서는 과학적인 사실의 증명을 근거로 한 내용을 담고 있습니다! 이 문서는 당신의 머리가 터지지 않을 정도의 과학적인 사실이 있습니다. 만약 이 문서에 거짓이 있다고 생각되면 이 틀을 삭제하거나 열심히 공부해서 거짓임을 증명하십시오.

이 문서는 잼이 없습니다. 잼이 듬뿍 들어간 글을 만드는 데는 우리 모두의 이 필요합니다.

이 문서가 설명하는 대상은 너무나 지랄 같습니다. 지랄 마 삐야.

이 문서는 겁나게 진지하니 감수하고 읽으실 분들만 아래로 스크롤을 내리십시오.

이 문서는 그 내용이 위뷁처럼 진지하고 어려워서, 읽는 순간 다음과 같은 문제가 발생할 수 있습니다. 다음 글을 읽는 순간 뇌가 급증하는 정보량을 이기지 못하고 타버릴 것이며, 컴퓨터마저 모니터와 본체가 따로 놀 것입니다.

“친구, 내가 너한테 선물 하나 하고 싶은데 그냥 주면 잼이 없으니까 게임을 하지. 저기 문 세 개가 있지? 그 중 하나의 문 뒤에는 고급 승용차가 있고 나머지 문 뒤에는 염소가 있어. 문 하나를 선택하면 그 뒤에 있는 것을 선물로 줄게. 네가 하나의 문을 고르면, 내가 염소가 있는 문들 중에 하나의 문을 열어 보여줄게. 그 후에 원래의 선택을 지속하든지, 아니면 선택을 바꿔도 돼”

—몬티 홀, 친구를 조롱하며

몬티 홀 문제(영어: Monty Hall Problem, 독일어: Ziegenproblem, 불어: Problème de Monty Hall, 스페인어: Problema de Monty Hall, 이탈리아어: Problema di Monty Hall, 왜말: モンティ・ホール問題, 듕귁어: 蒙提霍爾問題)는 몬티 홀이라는 이름의 부자의 친구가 선물을 달라는데 주기 싫어서 만들어낸 문제이다.즉 사기성이 짙다.

유래

몬티 홀(영어: Monty Hall)이라는 부자가 있었다. 그는 매우 인색한 성격이라서 남들에게 선물은커녕 먼지 하나조차도 나누어주려 하지 않는 사람이었다. 그런 그에게는 어렸을 때부터 소꿉친구였던 너이(가) 있었다.^? 너은(는) 몬티 홀의 인색한 성격을 아주 잘 알았지만 자기 소득으로는 자동차를 살 수 없었기에 어쩔 수 없이 그에게 자동차 한 대만 선물해 달라고 부탁했다. 의외로 몬티 홀은 그 부탁을 쉽게 받아들였다. 하지만 역시 짠돌이였던 몬티 홀은 조건을 붙였다. 그 조건은 다음과 같다.

“고급 자동차가 있는 문 하나와 염소가 있는 문 두 개 중 하나를 골라. 그러면 내가 그 문 뒤에 있는 것을 선물로 줄게.”

—몬티 홀, 자동차를 주기 싫어서

내용

몬티 홀 문제는 다음과 같다. 문이 세 개 있고 한 문에는 고급 자동차, 나머지 두 문에는 염소가 있다고 하고, 사회자는 염소가 있는 문 하나를 보여주었다. 이때 너는 처음에 선택한 문을 바꾸는 것이 유리한가 아니면 바꾸지 않는 것이 유리한가에 대한 문제이다.

해답

일단 각각의 문이 1, 2, 3이고 자동차가 1번 문에 있다고 가정하자.

처음에 1을 선택한 경우

사회자는 2번이나 3번 문 중 하나를 보여주게 될 것이다. 너은(는) 사회자가 보여준 문에 염소가 있다는 것을 알았으므로 1을 유지하거나 사회자가 보여주지 않은 문으로 바꿀 것이다. 이때 너이(가) 문을 바꿀 확률은 $\frac {1}{2}$이다.

처음에 2를 선택한 경우

사회자는 3번 문을 보여줄 것이다. 너은(는) 사회자가 보여준 문에 염소가 있다는 것을 알았으므로 2를 유지하거나 1로 바꿀 것이다. 이때 너이(가) 문을 바꿀 확률은 $\frac {1}{2}$이다.

처음에 3을 선택한 경우

사회자는 2번 문을 보여줄 것이다. 너은(는) 사회자가 보여준 문에 염소가 있다는 것을 알았으므로 3을 유지하거나 1로 바꿀 것이다. 이때도 너이(가) 문을 바꿀 확률은 $\frac {1}{2}$이다.

결론

자동차는 1에 있으므로 처음에 1을 선택한 경우에는 바꾸면 자동차를 얻을 수 없고 처음에 2 또는 3을 선택했을 경우에는 바꾸면 자동차를 얻을 수 있다. 자동차가 2 또는 3에 있을 때도 같은 방식으로 구해 보면 선택을 바꾸는 것이 자동차를 얻기에 더 유리하다는 것을 알 수 있다.

수학적 증명

$\, x$를 자동차가 있는 문의 번호, $\, y$를 너이(가) 처음 고른 문의 번호, 사회자가 연 문의 번호를 $\, m$이라고 하자. 너이(가) 2번 문을 골랐을 때 사회자가 3번 문을 열었다고 가정하자. 선택을 바꾸었을 경우, 1번 문 뒤에 자동차가 있을 확률은 조건부 확률을 이용하여 계산할 수 있다.

• $P(x=1|y=2, m=3)$은 1번 문에 자동차가 있을 때 너이(가) 2번 문을 골랐고 사회자가 3번 문을 열었을 확률이다.
• $P(m=3|x=1, y=2)$은 사회자가 3번 문을 열었을 때 너이(가) 2번 문을 골랐고 1번 문에 자동차가 있을 확률이며 이 확률은 가정이므로 $P(m=3|x=1, y=2)=1$이다.
• $P(x=1|y=2)$은 1번 문에 자동차가 있을 때 너이(가) 2번 문을 골랐을 확률이다. 자동차가 어떤 문에 있든 너은(는) 아무 문이나 고를 수 있으므로 $P(x=1|y=2)=\frac {1}{3}$이다.
• $P(m=3|y=2)$은 사회자가 3번 문을 열었을 때 너이(가) 2번 문을 골랐을 확률로, 일단 사회자는 세 문 중 하나를 열기 때문에 기본적으로 $\frac {1}{3}$이 들어간다.
  • 너이(가) 1번 문을 선택한 경우 염소는 2, 3번 문에 있으므로 3번 문을 여는 경우의 수는 $\frac {1}{2} \cdot \frac {1}{3} = \frac {1}{6}$이다.
  • 너이(가) 2번 문을 선택한 경우 사회자는 염소가 있는 3번 문을 열게 될 것이다. 이때의 확률은 세 문 중 하나를 여는 것이므로 당연히 $\frac {1}{3}$이다.
  • 너이(가) 3번 문을 선택했을 경우에 사회자는 염소가 있는 2번 문을 열 것이므로 사회자가 3번 문을 열 확률은 0이다.
• 결과적으로 $P(m=3|y=2) = \frac {1}{2}$이다.

$P(x=1|y=2, m=3)=\frac{P(m=3|x=1, y=2)P(x=1|y=2)}{P(m=3|y=2)}$

$=\frac{1 \times \frac{1}{3}}{\frac {1}{2} \times \frac {1}{3} + 1\times\frac {1}{3} + 0 \times \frac {1}{3}} = \frac {2}{3}$

그림을 통한 이해

위의 해설과 수식이 너무 어려워서 라면 아래 그림을 참조하라.

몬티 홀 문제의 해답을 깔끔하게 나타낸 그림. 다이아몬드가 자동차라고 생각해라.

간단한 풀이

• 너이(가) 염소가 있는 문을 골랐을 경우 사회자가 염소가 있는 문을 보여주고 선택을 바꾸면 차를 얻게 된다.
• 너이(가) 자동차가 있는 문을 골랐을 경우 사회자가 염소가 있는 문을 보여주고 선택을 바꾸면 염소를 얻게 된다.

결론적으로 선택을 바꿔서 자동차를 얻을 수 있는 확률은 너이(가) 염소가 있는 문을 선택할 확률. 즉, $\frac {2}{3}$이며, 선택을 바꿔서 염소를 얻을 확률은 $\frac {1}{3}$이다.

결론

• 몬티 홀은 짠돌이다.
• 짠돌이하고는 친구하지 말자.
• 몬티 홀은 염소를 두 마리 가지고 있다.

너가 고급 외제차보다 염소가 좋은가?

도보시오

• 확률
• 조건부 확률
• 유식
• 코끼리를 냉장고에 집어넣는 법
• 달팽이가 세계 일주하는 데 걸리는 시간

 빌어먹을 수학