미분방정식

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미분방정식 또는 미방은 '미친 분들을 위한 방정식'의 약자로, 미친 사람들만 풀 수 있는 방정식을 뜻한다.

개요

미분방정식은 다른 방정식들과 비슷하지만, 미분(미분방정식의 미분과 관련이 없다. 우연의 일치일 뿐이다.)과 적분이 양념처럼 들어가 있다.

예를 들어 다음과 같은, 전자기학을 배울 때 매번 접하게 되는 미분방정식을 보자.

$\nabla^2 V=-\frac{\rho}{\epsilon_0}$

이 방정식은 보기에는 간단하지만, 이것을 풀기 위해 42명의 공대생들이 갈렸다 카더라. 지금은 많은 경우에 대해 푸는 방법이 나와있어 저 문제를 푸는 것 자체에 공대생들이 갈리는 일은 없지만, 대신 공식에 대입하는 과정에서 142857명의 공대생들이 갈린다고 한다.

$\frac{df}{dx}=e^{x^2}$ 같은 방정식의 경우에는 방정식을 풀기 위해 많은 수학자들이 노력했지만, 대부분의 수학자들은 포기하였으며 오일러가 0으로 나누기를 시전하여 지구상에 미니 블랙홀을 만들고 난 뒤에야 $erf$라는 함수가 만들어져 저 방정식을 풀 수 있었다고 한다.

종류

미분방정식에는 여러 종류가 있다.

• 선형미분방정식 : 미분방정식을 보는 정도와 미친 정도가 비례한다는, 그런 미분방정식이다. 예를 들어 $\frac{d^2 y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} + y = f(x)$ 같은 것들이 있다.
• 비선형미분방정식 : 미분방정식을 보는 정도를 $x$라고 두면, 미친 정도가 $e^x$로 증가할 정도로, 보기만 해도 극도록 미쳐오는 미분방정식이라 할 수 있다. $\left( \frac{d^5 y}{dx^5} \right)^{4.2} = sin \frac{dy}{dx}$ 같은 것들이다.

푸는 방법

우선 간단하게 다음과 같은 미분방정식을 생각해 보자.

$\frac{dy}{dx}=f(x)$

이런 방정식은 다음과 같이 간단하게 풀 수 있다.

$g(x) = \frac{e^{\sin x} + x e^x \sin(x \cos(x))}{10 + \sin x}$

$y=g(x)\int\frac{f(x)}{g(x)}dx-\int g'(x)\int\frac{f(x)}{g(x)}dx dx + (0!-1) \sum_{i=0}^{1000}f(i^2)(i-42)$

참 쉽죠?

그 다음으로 다음과 같은 방정식은,

$\rho \left(\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla \mathbf{v}\right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{v} + \mathbf{f}$

위와 똑같이 풀면 되는데, 대신 몇 가지 항이 더 들어가 있을 뿐이다.

이 방정식을 푸는 일반적인 방법이 있는데, 우선 양 변을 0으로 나누면...

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