사용자:Hatredblood/함수의 극한

백괴사전, 내용 없는 백과사전

이동: 둘러보기, 찾기

틀:미적분학 함수의 극한은 해석학의 기초가 되는 중요한 개념의 하나로, 변수가 어떠한 값에 가까워질 때 함수값이 특정한 값으로 가까워지는 것을 의미한다.

x에 대한 함수 f(x)에서, x가 어떤 값 a에 한없이 가까워지면 f(x)도 어떤 값 c에 한없이 가까워질 때 f(x)가 c에 수렴한다고 한다. 이것을 기호로 표현하면,

x→a 일 때 f(x)→c 또는 $\lim_{x \to a}f(x) = c$ 이다.

이때, c를 x→a 일 때의 f(x)의 극한 또는 극한값이라고 한다.

[편집] 좌극한과 우극한

좌극한과 우극한은 x가 a에 가까워질 때, a보다 작거나 큰 어느 한쪽 방향에서만 접근할 때의 값을 의미한다. 극한값이 존재하려면 좌극한과 우극한이 모두 존재해야 하고, 그 두 값이 같아야 한다. 반대로 좌극한과 우극한이 서로 다르거나 둘 중 하나 이상이 존재하지 않는다면, 이 경우 그 함수의 극한값은 존재하지 않는다.

이때 +0과 -0은 그 값의 이동 방향을 나타낸다. $\lim_{x \to a-0}f(x) = c$ 는 x가 a보다 작은 방향에서 a로 가까워지는 것을 의미하고, 반대로 $\lim_{x \to a+0}f(x) = c$ 는 x가 a보다 큰 방향에서 a로 가까워지는 것을 의미한다.

예를 들어, $f(x)$ 가 $x \ge 0$ 일때 1, $x < 0$ 일때 0을 가지는 함수라면 $\lim_{x \to 0-0}f(x) = 0$ , $\lim_{x \to 0+0}f(x) = 1$ 이 된다.

0+0, 0-0의 경우 간단히 +0, -0으로 줄여서 표기하기도 한다. 또는 +0, -0을 줄여 +, -로 표기하기도 한다.

[편집] 발산

극한이 존재하지 않는 경우를 발산한다고 한다. 이때 함수값이 무한히 커지거나 작아지는 경우에는 특별히 양의 무한대로 발산하거나 음의 무한대로 발산한다고 정의한다.

예를 들어, $f(x) = \frac{1}{x^2}$ 의 경우 x가 0에 가까워질 때 f(x)는 무한히 커지고, 따라서 양의 무한대로 발산한다.

[편집] 수학적 정의

함수의 극한은 일반적으로 입실론-델타(ε-δ)에 관한 방법으로 정의된다. 모든 양의 실수 ε에 대해, 어떠한 실수 δ가 존재하여 $0 < | x - p | < \delta$ 일때 항상 $| f(x) - c | < \epsilon$ 가 성립하면, 이때의 극한값은

$\lim_{x \to a}f(x) = c$

로 정의한다.

좌극한과 우극한도 비슷한 방법으로 정의하는데, 이때는 δ에 대한 조건이 $0 < | x - p | < \delta$ 대신 좌극한의 경우 $p - x < \delta$ , 우극한의 경우 $x - p < \delta$ 가 된다.

[편집] 무한대

$\lim_{x \to \infty}f(x) = L$ : x가 양의 무한대로 커질 때 f(x)는 L에 가까워진다.

x가 어떠한 값으로 접근하는 것이 아니라 무한히 커지거나 작아지는 경우에 대해서도 극한값을 정의할 수 있다. 이때의 조건은 모든 양의 실수 ε에 대해, 어떠한 실수 S가 존재하여 $x > S$ (양의 무한대) 또는 $x < S$ (음의 무한대)일때 항상 $| f(x) - c | < \epsilon$ 가 성립하는 경우이다. 이때 수식으로는 다음과 같이 표시한다.