제논의 역설

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제논의 역설이란, 고대 그리스 사람이었던 제논이란 작자가 심심풀이로 사람들을 골리기 위해서 만든 역설 중 하나다. 그는 이 역설로 대중들에게 많이 알려지게 되었다.

내용

아킬레우스와 거북

달리기가 아주 빠르다고 알려진 아킬레우스과 거북이가 육지에서 달리기 시합을 한다고 하자. 이때 거북이가 아킬레우스보다 10배 정도 느리므로 약자 보호 측면에서 거북이는 제논보다 10m 정도 앞에서 출발하기로 하고 경기를 시작했다.

아킬레우스가 10m에 도달하면 거북이는 11m에 있게 되고 아킬레우스가 11m에 도달하면 거북이는 11.1m에 있고, 아킬레우스가 11.1m에 도달하면 거북이는 11.11m에 있게 된다.
이 과정이 반복된다면 아킬레우스가 t초 동안 아무리 뛰어도 거북이는 항상 아킬레우스보다 ${(\frac {1}{10})}^t$m 앞에 있으므로 아킬레우스는 거북이를 절대 따라잡을 수 없다.

이분 역설

어떤 사람이 A에서 B까지 가려고 한다. 이때 이 사람은 B까지 순간이동할 수 없고, 날아가지도 않으며, 걸어간다고 가정하자.

A에서 B까지 가려면 A와 B 사이의 어떤 지점 C를 지나야 하고, 다시 A에서 C까지 가려고 하면 A와 C 사이의 한 지점 D를 지나야 하며, A에서 D까지 갈 때는 또 A와 D 사이에 있는 E를 지나야 한다.
이 과정을 반복하면 A와 B 사이가 아무리 짧아도 A에서 B까지 무한한 지점을 통과해야 하므로 물체는 움직일 수 없다.

화살의 역설

누군가가 화살을 쏘았다. 쏜 화살의 이동 궤도를 분석해 보면 특정한 지점에서 화살은 정지해 있고, 그 지점들이 모여 화살의 이동 궤도를 구성하므로 화살은 날아가는 동안 움직이지 않았다는 결론에 도달하게 된다.

이분 역설과 화살의 역설을 통해 움직이는 물체는 정지해 있다는 백괴스러운 결론에 도달하게 된다. 그 증명은 여백이 부족하여 생략한다.

문제

이 삐같은 이론 덕분에 돈을 잃게 되는 사람이 늘어났고, 제논은 빚쟁이들의 항의로 거지가 되었다.

아킬레우스와 거북의 반론

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아킬레우스가 움직인 거리는 10을 초항으로 하고 0.1을 공비로 하는 무한등비급수로 나타낼 수 있다. 이 무한등비급수의 합은 $\frac{100}{9}$이며, 결국 아킬레우스가 $\frac{100}{9}$m 지점에 이르러 거북이를 따라잡게 되는 것이다.

대입식 반증

내(거북이)가 이봉주(아킬레우스)와 함께 마라톤 시합을 한다고 하자. 나는 이봉주보다 5km 앞에서 출발한다. 준비! 시~ 작!하면서 총을 빵 쏘면...

먼저 이봉주가 5km 지점에 도달하면, 나는 한 8km 정도 되는 지점에 있을 것이다. 그리고 이봉주가 다시 8km 지점에 있다면 나는 또 앞서 나가서 약 10km 지점에 있을 것이며, 이봉주가 10km 지점에 도달하면 나는 11km 남짓 되는 지점 앞에 있을 것이다. 경기가 끝날 때까지 이런 순환이 계속된다면 결과는 나의 승리로 끝날 것이다.

하지만 이 논리를 바탕으로 해서 실제로 마라톤 경기를 해 봤더니 이봉주가 나를 삐관광태우는 결과가 일어났다.

	제논 이 삐아 앞에서 출발하면 무조건 이긴다매? 응?
─ 나

이분 역설의 반론

이론적 반증

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A와 B 사이의 거리를 d라 하면, 무한한 각 지점간의 거리는 $\lim_{x->\infin} \frac{d}{2^x}$이며, 이 사람이 걷는 속도를 v라 하면 각각의 지점을 통과하는 데 걸리는 시간은 $\lim_{x->\infin} \frac{d}{2^{x}v}$이며, 그 시간은 무한히 짧은 시간이다. 이때 지점의 수는 $\lim_{x->\infin}2^x$개이므로, 이 사람이 목적지까지 가는 데 걸리는 시간은 무한소 곱하기 무한대이며, 그 극한값은 $\frac{d}{v}$이므로 이 사람은 $\frac{d}{v}$만큼의 시간이 걸리면 목적지까지 갈 수 있다! 뭐? 선분 AC와 선분 CB의 길이가 같다는 말이 없었다고? 알 게 뭐야.

대입식 반증

내가 서울(A)을 출발해서 부산(B)으로 간다.

1. 자, 먼저 서울과 부산의 중간 지점 쯤에 있는 대전(C)을 거쳐가야 할 것이다.
2. 대전을 지났으면 또 대전과 부산의 중간 지점 쯤에 있는 대구(D)를 거쳐가야 할 것이다.
3. 대구와 부산 사이에 밀양(E)이 있으니 또 거쳐가야 할 것이고,
4. 밀양과 부산 사이에 있는 양산(F)을 거쳐가야 할 것이고,
5. 또 양산과 부산 사이에 있는 작은 지점들을 일일이 다 거쳐가야 할 것이다.

이런 식으로 계속되면 나는 영원히 부산으로 갈 수 없을 것이다. 하지만 어떤가. 나는 이미 2012년 2월 11일에 부산에 한 번 갔다온 몸이다. 왜? 서울과 부산 사이에 많은 점이 있어서 영원히 못 간대매?

만약 제논의 역설이 맞다 하여도 영원히 못 간다는 부산까지 갈 수 있는 방법이 하나 있으니, 그것은 바로 부산과 왜국을 연결하는 해상 고속도로가 하나 있다고 생각을 하고 목적지를 왜국으로 잡는 것이다. 그러면, 양산에서 왜국 국경선 사이에 부산이 낑겨 있으니 부산까지는 갈 수 있을 것이다. 자, 이제 부산에 왔을 때 멈추면 된다.

	그럼 부산에서 서울로 다시 올라가려면 목적지를 개성으로 잡나?
─ 너

내가 음성 정보를 전달합네다!(탕) “오! 뭘 좀 아는군...!”

도보시오

• 공손룡

이 문서는 철학에 관한 토막글입니다. 토론하는 철학자들이 보이시나요? 서로의 두뇌 안 의견을 긁어모아 허무주의에 도달합시다.

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