틀:문서 수 예언 2/내부

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2개의 데이터 (문서수, 시각쌍)를 이용해 예언을 합니다. a번째 문서가 만들어진 시각을 $t_a$, b번째 문서가 만들어진 시각을 $t_b$, 현재 문서수를 n, 현재 시각을 t라고 하면, 다음 세 개의 2차방정식이 나옵니다. (alpha, beta, gamma는 임의의 상수)

$a = \alpha t_a^2 + \beta t_a + \gamma$ - (1)

$b = \alpha t_b^2 + \beta t_b + \gamma$ - (2)

$n = \alpha t^2 + \beta t + \gamma$ - (3)

(2) - (1) : $b-a = \alpha (t_b^2 - t_a^2) + \beta (t_b - t_a)$ 또는 $\frac{b-a} {t_b - t_a} = \alpha (t_a + t_b) + \beta$

(3) - (2) : 마찬가지로 하면 $\frac{n-b} {t - t_b} = \alpha (t_b + t) + \beta$

그러므로 (1) + (3) - 2(2) : $\frac{n-b} {t-t_b} - \frac{b-a} {t_b-t_a} = \alpha (t - t_a)$

$\alpha = \frac{n-b} {(t-t_a)(t-t_b)} - \frac{b-a} {(t-t_a)(t_b-t_a)}$

$\beta = \frac{b (-t^2+{t_a}^2)+a (t-t_b) (t+t_b)+n (-{t_a}^2+{t_b}^2)}{(t-t_a) (t-t_b) (t_a-t_b)}$

$= \frac{a (t+t_b)}{(t-t_a) (t_a-t_b)} - \frac{b (t+t_a)}{(t-t_b) (t_a-t_b)}-\frac{n (t_a+t_b)}{(t-t_a) (t-t_b)}$

$\gamma = \frac{b t_a t(t-t_a)+t_b (n t_a (t_a-t_b) - a t (t-t_b))}{(t-t_a) (t-t_b) (t_a-t_b)}$

이제 이걸 근의 공식에 적용하면 끝납니다. ($\gamma$에 현재 문서 수를 빼는 것을 잊지 말아야 합니다.)

이 과정에서 혹시 모를 오류가 없게 하기 위해, 틀:root, 틀:root/alpha, 틀:root/beta, 틀:root/gamma 네 개의 복잡한 틀을 만들어 계산을 분담하였습니다.