1=−1

1=−1이다.

증명

허수 단위를 이용한 증명

일단 이 증명 방법을 이해하려면 적어도 허수와 허수 단위가 뭔지 알아야 한다. 그러므로 그 둘을 모르는 초딩들은 이해할 수 없을 것이다.

$\frac{1}{i} = -i$

양변을 제곱하면

$\frac{1^2}{i^2} = (-i)^2$

$\frac{1}{-1} = -1$

양변의 제곱근을 구하면

$\sqrt{\frac{1}{-1}} = \sqrt{-1}$

$\frac{1}{i} = i$

양변에 i를 곱하면

$1 = -1$

이 되며, 동시에 $-i = i = \frac{1}{i}$도 얻을 수 있다.

삼각함수의 미분을 이용한 증명

이 증명을 이해하려면 삼각함수의 미분을 알아야 한다.

$\sin x = \cos x$인 x가 있다고 하자.

이때 양변을 미분하면

$\sin ' x = \cos ' x$

$\cos x = - \sin x$

그리고 맨 위의 식에 따라 $x=\frac {\pi} {4}$이므로

$\cos \frac {\pi} {4} = - \sin \frac {\pi} {4}$

$\frac{1} {\sqrt {2}} = - \frac{1} {\sqrt {2}}$

양변을 $\frac{1} {\sqrt {2}}$ 로 나누면

$-1 = 1$

1=1과 0으로 나누기를 이용한 증명

1=1

1=(-1)×(-1) …①

①의 양변에 -1을 곱하면

-1=(-1)×(1) …②

①과 ②를 변끼리 더하면

1-1=(-1)×(-1+1)

양변을 1-1(또는 -1+1)로 나누면

1=-1

여기서 1=0을 증명할 수 있다.

응용

-1=1임을 이용해서 음수×음수=양수임을 보일 수 있다.

증명 : 음수와 음수의 곱은 양수이다.
$pq=r$인 양의 실수 $p,q,r$이 있다 하자. 그러면 $(-p)(-q)=(-1)^2r$이므로 $(-p)(-q)=r$와 $(-1)^2=1$은 동치이다. 이제 $(-1)^2=1$임을 증명하자. $-1=1$이고, 이 식의 양변을 제곱하면 $(-1)^2=1^2$ $1^2=1$임은 명백하므로 $(-1)^2=1$이다. $\therefore (-p)(-q)=r$

 빌어먹을 수학